โรงเรียนบ้านอีอูด ตั้งอยู่บ้านอีอูด หมู่ที่ 10 ตำบลนาเดื่อ อำเภอศรีสงคราม จังหวัดนครพนม จัดตั้งเมื่อวันที่ 5 มีนาคม ปีพุทธศักราช 2482 โดยใช้ศาลาวัดอินแปลงเป็นที่ทำการเรียนการสอน มีครูใหญ่คนแรกคือ นายสิงห์ ท้าวนาง ในเบื้องต้นได้เปิดทำการเรียนการสอนแค่ในระดับชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 เมื่อทางราชการย้ายนายสิงห์ ท้าวนาง ไปเป็นครูใหญ่โรงเรียนบ้านนาคำและมอบหมายให้ นายทอง ปาข้างฮุง มารักษาราชการแทน ต่อมานายดวง อุดานนท์ ได้ย้ายมาดำรงตำแหน่งครูใหญ่ เมื่อวันที่ 3 สิงหาคม 2484
ปี พ.ศ. 2496 ชาวบ้านอีอูดและคณะครูช่วยกันถางป่าทางทิศตะวันออกของหมู่บ้านซึ่งเป็นที่ตั้งโรงเรียนในปัจจุบัน เป็นที่ดินสาธารณะเพื่อใช้เป็นสถานที่ก่อสร้างอาคารเรียนและทางราชการได้สมทบงบประมาณในการก่อสร้างจำนวนหนึ่งพันบาท สร้างเป็นอาคารเรียนเอกเทศกำมะลอ และในวันที่ 1 พฤษภาคม 2499 ได้รับงบประมาณสนับสนุนจากทางราชการอีกจำนวน 18,920 บาท สร้างอาคารเรียนขนาด 24x9 เมตร แบบ ป 1 ซ แล้วเสร็จในปี พ.ศ. 2502 และนำเด็กนักเรียนเข้ามาเรียนในวันที่ 1 พฤษภาคม 2502
ปี พ.ศ. 2511 ได้รับงบประมาณต่อเติมอีกจำนวน 30,000 บาท ต่อเติม 1 ห้องเรียน เปิดทำการเรียนการสอนระดับชั้น ประถมศึกษาปีที่1 ถึง ชั้นประถมศึกษาปีที่4 และในปี พ.ศ. 2521 ได้เปิดทำการเรียนการสอนตามหลักสูตรประถมศึกษา พุทธศักราช 2521 ตั้งแต่ระดับชั้นประถมศึกษาปีที่1 ถึงชั้นประถมศึกษาปีที่ 6
ปี พ.ศ. 2523 ได้รับงบประมาณในการสร้างอาคารเรียนแบบ ป 1 ฉ ขนาด 2 ห้องเรียน จำนวน 200,000 บาท และปี พ.ศ. 2525 ได้รับงบประมาณในการก่อสร้างอาคารอเนกประสงค์ จำนวน 100,000 บาท ปี พ.ศ. 2526 ได้รับงบประมาณในการก่อสร้างอาคารเรียนแบบ สปช 105/26 จำนวน 1 หลัง ขนาด 4 ห้องเรียน งบประมาณ 880,000 บาท และในปี พ.ศ. 2542 ได้รับงบประมาณ ในการก่อสร้างอาคารเรียนแบบ สปช 102/29 ขนาด 3 ห้องเรียน
ปัจจุบันโรงเรียนบ้านอีอูด จัดการศึกษา 2 ระดับคือ การศึกษาปฐมวัย และการศึกษาขั้นพื้นฐานตั้งแต่ระดับชั้นอนุบาล 1 ถึงชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 มีข้าราชการครู 8 คน ครูอัตราจ้าง 2 คน ครูพี่เลี้ยงเด็กพิการจำนวน 1 คน เจ้าหน้าที่ธุรการ 1 คน และนักการภารโรง 1 คน โดยมี นายพิทยา เยียวรัมย์ เป็นผู้อำนวยการโรงเรียนคนปัจจุบัน